Getallen

Het was in eerste instantie niet mijn bedoeling een pagina te wijden aan getallen. De meeste websites die getallen behandelen in de context van mijn website verzanden in zeer korte tijd in esoterisch geleuter. Daar mijn website de getalsmatige invalshoek van bepaalde symbolen behandelt, kan ik er eigenlijk niet onderuit om ook de getallen zelf te beschouwen. Ik heb gekozen voor een aanpak die onze kennis van de microkosmos zo dicht mogelijk probeert te benaderen. Mijn grondstelling is de uitspraak van Pythagoras “Alles is getal”. Mijn interpretatie van deze uitspraak is echter anders dan die van Pythagoras. Pythagoras beschouwde getallen als zelfstandige entiteiten die hij een naam gaf en waaraan hij principes koppelde. In mijn visie zijn getallen configuraties van elementaire eenheden. In de moderne quantum wetenschappen gaat men er van uit dat er een allerkleinste eenheid bestaat waaruit alles opgebouwd is. Deze eenheid noemt men een quant. Een van de theorieën in de quantumfysica is de supersnaren theorie, waar de allerkleinste eenheid wordt voorgesteld door een trillend snaartje. De theorie van een allerkleinste deeltje is niet nieuw. In de Griekse oudheid zo’n 460 voor Christus kwam Democritus al met een theorie over atomen.

Mijn uitgangspunt is een allerkleinste elementaire eenheid die ik geen naam geef maar simpel aanduid met 1. Alle getallen zijn dan configuraties van de eenheid 1. Het getal 2 is dan eenvoudig te definiëren als de eerste configuratie van eenheden die op te splitsten is in twee gelijke delen. De gelijke delen zijn noodzakelijkerwijs eenheden.
Het getal 3 kan gedefinieerd worden als de eerste configuratie van eenheden die niet op te splitsen is in 2 gelijke delen. De configuratie is alleen op te splitsen in eenheden.
Uit deze definitie is meteen de definitie voor een verzameling configuraties af te leiden die alleen op te splitsen zijn in eenheden en wel de priemgetallen. Je kan de priemgetallen zien als zelfstandige configuraties of als nieuwe eenheden. Alle niet priemgetallen zijn samenstellingen van nieuwe eenheden en zijn op te splitsen in gelijke delen. Volgens deze definitie is dus ook 2 een priemgetal.
Het getal 4 is de eerste configuratie die op te splitsten is in twee gelijke delen die geen eenheden zijn maar nieuwe eenheden.
Het getal 5 is weer een nieuwe eenheid.
Het getal 6 is op te splitsen in 2 configuraties van 3 eenheden of 3 configuraties van 2 eenheden.

Op deze manier kan ieder getal gedefinieerd worden als een configuratie van eenheden. Iedereen zal in deze beschrijving de eenvoudige rekenkundige bewerking ontbinden in factoren herkennen. Ontbinden in factoren wordt door de meeste mensen echter alleen maar gezien als een techniek om de deelbaarheid van een getal te bepalen. Het gedrag en de uitwerking van een getal in rekenkundige processen wordt echter volledig bepaald door deze eigenschappen. Indien je rekenkundige bewerkingen ziet als afspiegeling van de processen in de natuur is het van belang om de opbouw van getallen te begrijpen.

Het grote probleem met getallen is dat de meeste mensen niet het verschil zien tussen de weergave van een getal en de intrinsieke waarde. De meeste mensen zijn er zich niet van bewust dat de resultaten van berekeningen mede bepaald worden door de manier waarop we de getallen weergeven. Een eenvoudig voorbeeld van zo’n berekening is de deling 1 / 7. Indien je deze deling uitvoert in het 7tallig stelsel krijg je het exacte antwoord 0,1. Indien je deze deling uitvoert in het 8tallig stelsel krijg je de repeterende breuk 0,111111… en in het 10tallig stelsel krijg je de repeterende breuk 0,142857142857…  Je zult begrijpen dat deze verschillen in resultaten bij complexe berekeningen steeds groter worden. De manier waarop wij getallen weergeven is dus niet een exacte weergaven maar een weergave in de spiegel van het gebruikte talstelsel. Je zou kunnen zeggen dat de frequentie die een verdeling laat zien wordt bepaald door de frequentie van het talstelsel.

Deze manier van functioneren komt echter exact overeen met de manier waarop wij de wereld aanschouwen. Onze zintuigen werken volgens het zelfde principe. Alles wat wij waarnemen wordt vorm gegeven door de spiegels van onze zintuigen. Ook bij ons waarnemingssysteem is de frequentie van onze zintuigen bepalend voor wat wij waarnemen. Een opmerking als ‘de dingen zijn zo als ik ze waarneem’ is dus pure onzin. De enige juiste handelswijze is alles via verschillende spiegels bekijken om een zo gevarieerd mogelijk beeld te krijgen en daarna beseffen dat het toch allemaal maar spiegelbeelden zijn.

De methode die ik aan het begin van dit artikel besproken heb om getallen te zien als configuraties, is talstelsel onafhankelijk. De effecten die voortvloeien uit de verschillen in configuraties zijn per talstelsel of verzameling van talstelsels verschillend, met andere woorden de frequentie van de waarnemer bepaald het geen wat waargenomen wordt. Indien je de schepping beschouwd als een complex van geneste configuraties waarvan de eigenschappen bepaald worden door de onderlinge verhoudingen en de manier waarop deze verhoudingen worden waargenomen, ontstaat er een concept voor een schepping die gepresenteerd kan worden door getallen.

De belangrijkste eigenschappen van de natuur, herhaling en symmetrie  zijn eigenschappen die spontaan ontstaan als je een deling met getallen uitvoert. Het bovenstaande voorbeeld van de deling 1 / 7 laat al zien dat er herhaling ontstaat als deze deling in de spiegel van het juiste talstelsel wordt bekeken. De symmetrie komt pas naar voren als je de ontstane reeks getallen op een andere manier weergeeft. Neem als voorbeeld de presentatie in het 10tallig stelsel 0,142857142857…. Het herhalende deel is 6 cijfers lang. Indien je deze 6 cijfers opsplitst in 2 getallen van 3 cijfers, 142 en 857, en deze getallen bij elkaar optelt krijg je de waarde 999. Deze twee getallen zijn elkaars complement. Indien je deze 6 getallen weergeeft in een cirkel diagram als onderstaande is duidelijk de symmetrie te zien.

De meeste getallen geven in een bepaald talstelsel een symmetrisch figuur. De complexiteit van dit figuur wordt bepaald door de samenstelling van de configuratie. Een priemgetal geeft de meest complexe figuren. De grootte van het herhalende getallenpatroon is altijd kleiner dan het getal zelf. Bij priemgetallen is de lengte van het getallenpatroon een deler van het getal-1, en is dus maximaal gelijk aan getal-1. Bij niet priemgetallen is de lengte van het getallenpatroon een deler van het getal zelf. Omdat de lengte van het getallenpatroon altijd kleiner is dan het getal zelf, is de lengte van het getallenpatroon bij niet priemgetallen kleiner of gelijk aan de helft van het getal. De verhouding 1 : 7 is de kleinste verhouding die in het 10tallig stelsel een symmetrisch figuur oplevert. De verhouding 1 : 5 geeft in het 8tallig stelsel de onderstaande symmetrisch figuur en is daarmee de kleinste verhouding die een symmetrisch figuur oplevert.

Onderstaande enkel voorbeelden van symmetrische figuren die op deze manier ontstaan zijn. Zie voor meer van deze figuren ook de pagina Enneagram.